考虑设 $f_{i,j}$ 表示场上有 $i$ 个白老鼠 $j$ 个黑老鼠先手获胜的概率，考虑怎么怎么转移。

如果先手抓了白老鼠，那么先手获胜，概率为 $\dfrac{i}{i+j}$。

如果后手抓了黑老鼠，那么获胜的概率为 $0$。

接下来分类讨论先手后手都抓黑老鼠，分别跑了黑老鼠和白老鼠的概率：

$\dfrac{j}{i+j}\times \dfrac{j-1}{i+j-1}\times \dfrac{i}{i+j-2}\times f_{i-1,j-2}$

$\dfrac{j}{i+j}\times \dfrac{j-1}{i+j-1}\times \dfrac{j-2}{i+j-2}\times f_{i,j-3}$

综合一下上面的概率得到：

$f_{i,j}=\dfrac{i}{i+j}+\dfrac{j}{i+j}\times \dfrac{j-1}{i+j-1}\times (\dfrac{i}{i+j-2}\times f_{i-1,j-2}+\dfrac{j-2}{i+j-2}\times f_{i,j-3})$

考虑对于边界情况：

• 如果全部都是白老鼠或者是空的，那么先手胜利的概率显然为 $1$。

• 如果全部只有 $1$ 只黑老鼠，那么先手胜利的概率显然就是第一次不抽中黑老鼠的概率 $\dfrac{i}{i+1}$。